Mathsite

← Back to topic: Преобразование отношений и сложные пропорции

Доказать новые свойства пропорций

Показать, почему из пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ всегда следуют равенства $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$ и $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$ .

Subtopic: Преобразование отношений и сложные пропорции

Available tasks: 30

Build worksheet for this skill

What the student should be able to do

Доказывать свойства пропорции и выводить новые равенства из известного соотношения. Переходить от базовой пропорции к выражениям с суммой, разностью или изменёнными членами, используя алгебраические преобразования.

Key idea

Если $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ , то обе дроби можно преобразовывать одинаковыми допустимыми способами.

Для вывода новых свойств удобно добавлять или вычитать единицу, раскладывать дробь на сумму или применять основное свойство пропорции.

Один из стандартных приёмов: представить $\dfrac{a+b}{b}$ как $\dfrac{a}{b} + 1$ .

Доказательство должно быть последовательным: каждое новое равенство должно следовать из предыдущего.

Worked example

Question

Известно, что $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ . Докажите, что $\dfrac{a + b}{b} = \dfrac{c + d}{d}$ .

Solution steps

1
Начинаем с данного равенства: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ .
2
Прибавим к обеим частям по $1$ : $\dfrac{a}{b} + 1 = \dfrac{c}{d} + 1$ .
3
Запишем единицу как дробь с тем же знаменателем: $1 = \dfrac{b}{b}$ и $1 = \dfrac{d}{d}$ .
4
Тогда получаем: $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{b} = \dfrac{c}{d} + \dfrac{d}{d}$ .
5
Складываем дроби с одинаковыми знаменателями: $\dfrac{a+b}{b} = \dfrac{c+d}{d}$ .

Conclusion

Следовательно, $\dfrac{a + b}{b} = \dfrac{c + d}{d}$ .

Typical mistakes

Сразу записывают нужный результат без промежуточных шагов доказательства.
Неверно складывают дроби и, например, пишут $\dfrac{a}{b} + 1 = \dfrac{a+1}{b}$ .
Используют недопустимые преобразования, не объясняя их.
Путают доказательство свойства с проверкой на частном числовом примере.

Related skillsShow skill route

Required before this skill

Task examples

Показать, почему из пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ всегда следуют равенства $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$ и $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$ .

Какая пропорция получается обращением пропорции $a : b = c : d$ ?

$b : a = c : d$
$b : a = d : c$
$a : c = d : b$
$c : a = b : d$

Answer

Какая пропорция получается при перестановке средних членов пропорции $a : b = c : d$ ?

$b : c = a : d$
$a : d = b : c$
$a : c = b : d$
$c : d = a : b$

Answer

Какая пропорция получается при перестановке крайних членов пропорции $a : b = c : d$ ?

$b : d = a : c$
$a : c = b : d$
$d : c = b : a$
$d : b = c : a$

Answer

Из пропорции $a : b = c : d$ укажите номер верного следствия.

$(a + b) : b = (c + d) : d$
$(a + b) : a = (c + d) : d$
$(a + d) : b = (c + b) : d$
$(a - b) : a = (c - d) : d$

Answer

Из пропорции $a : b = c : d$ укажите номер верного следствия.

$(a - b) : a = (c - d) : d$
$(a - b) : b = (c - d) : d$
$(a - b) : b = (d - c) : d$
$(a + b) : b = (c - d) : d$

Answer