Свойства отношений и производные пропорции

Алгебраические преобразования отношений, работа с параметром и доказательство производных пропорций.

Статус главыОпубликовано

Содержание

Если известно отношение двух величин, его можно использовать не только для сравнения, но и для вычисления выражений с этими величинами.

Параметрическая модель

Если известно, что a:b = 2:3, можно записать:

$a = 2t$ , $b = 3t$

Здесь t - общий множитель, одинаковый для обеих величин.

Пример: найти сумму и разность

Пусть a:b = 2:3. Тогда a = 2t, b = 3t.

$a+b = 2t + 3t = 5t$

$b-a = 3t - 2t = t$

Так удобно выражать более сложные величины через один параметр.

После подстановки параметров можно доказывать новые отношения и преобразовывать исходную запись к более удобному виду.

Алгоритм преобразования

Пример: вывести новое отношение

Если a:b = 2:3, то найдём отношение (a+b):b.

$a = 2t$ , $b = 3t$

$(a+b):b = (2t+3t):3t = 5t:3t = 5:3$

Общий множитель t сократился, и осталось новое отношение 5:3.

Подставляют коэффициенты 2 и 3 как готовые значения, забывая про общий множитель.
Теряют общий множитель при сумме или разности.
Смешивают отношение и обычное вычитание без аккуратной записи.

Почему при отношении a:b = 4:7 удобно записать a = 4t, b = 7t?
Как найти отношение (a+b):a, если a:b = 1:2?
Что именно сокращается в параметрической записи?
Почему нельзя просто подставить вместо a число 4, а вместо b число 7 без условий?

Компактный список навыков этой подтемы с поиском и кнопкой «Показать все».

Поиск по навыкам

По заданному отношению $a$ к $b$ найти значения выражений вида $\frac{3a}{b}$, $\frac{a+b}{b}$, $\frac{a-b}{3a}$.

Найти отношение $a$ к $b$, если известно, что $\frac{b}{a} = \frac{2}{7}$ или $\frac{a+b}{b} = \frac{10}{3}$.

Показать, почему из пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ всегда следуют равенства $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$ и $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$.