Mathsite

← К теме: Прямая и обратная пропорциональность. Масштаб

Решить задачу на обратную пропорциональность

Составить и решить пропорцию в задачах, где величины обратно пропорциональны.

Подтема: Прямая и обратная пропорциональность. Масштаб

Доступно задач: 30

Что должен уметь ученик

Решать задачи, в которых при увеличении одной величины другая уменьшается во столько же раз. Составлять пропорции для обратно пропорциональных величин и находить неизвестное значение.

Ключевая идея

Обратная пропорциональность означает: если одну величину увеличить в несколько раз, другая уменьшится во столько же раз.

Для одной и той же работы произведение величин остаётся постоянным, например: число рабочих $\times$ время.

При обратной пропорциональности удобно составлять пропорцию так, чтобы большее значение одной величины соответствовало меньшему значению другой.

Проверка по смыслу: если рабочих стало меньше, времени на ту же работу должно понадобиться больше.

Разобранный пример

Вопрос

Бригада из $8$ рабочих выполняет производственное задание за $12$ дней. За сколько дней выполнит то же задание бригада из $6$ рабочих?

Шаги решения

1
Объём работы один и тот же. Если рабочих становится меньше, времени требуется больше. Значит, здесь обратная пропорциональность.
2
Пусть $6$ рабочих выполнят это задание за $x$ дней.
3
Для одной и той же работы произведение числа рабочих на число дней одинаково: $8 \cdot 12 = 6 \cdot x$ .
4
Вычисляем левую часть: $8 \cdot 12 = 96$ .
5
Получаем уравнение: $6x = 96$ .
6
Находим $x$ : $x = \dfrac{96}{6} = 16$ .
7
Проверяем смысл: рабочих стало меньше, а дней стало больше — это соответствует условию.

Вывод

Ответ: $16$ дней.

Типичные ошибки

Считают зависимость прямой и получают, что при уменьшении числа рабочих уменьшается и время.
Составляют пропорцию в том же порядке, что и для прямой пропорциональности, без учёта обратной связи.
Не проверяют ответ по смыслу задачи.
Забывают, что сравнивается одна и та же работа, а значит произведение соответствующих величин должно быть постоянным.

Связанные навыкиПоказать маршрут

Нужно до этого навыка

Найти неизвестный член пропорции

Примеры заданий

Составить и решить пропорцию в задачах, где величины обратно пропорциональны.

С помощью $6$ одинаковых труб бассейн заполняется водой за $24$ минуты. За сколько минут можно заполнить бассейн с помощью $9$ таких труб?

Ответ

Некоторое расстояние велосипедист проезжает за $6$ часов. За сколько часов он проедет то же расстояние, если его скорость увеличится в $2$ раза?

Ответ

Воду из котлована планировалось откачать за $30$ дней с помощью $24$ насосов. Сколько насосов необходимо добавить, чтобы откачать воду за $20$ дней?

Ответ

За $30$ минут $6$ поваров могут почистить $12$ кг картофеля. Сколько поваров необходимо, чтобы за $25$ минут почистить $15$ кг картофеля?

Ответ

С помощью $12$ комбайнов агрофирма наметила убрать урожай зерновых за $8$ дней. Сколько комбайнов необходимо добавить, чтобы сократить сроки уборочной на $2$ дня?

Ответ