Подтема

Подтема • Пропорции

Понятие отношения

Как находить и интерпретировать отношение двух чисел: в виде дроби, частного и процента.

Статус главыОпубликовано

Содержание

Что такое отношение
Как записывается отношение
Как сравнивать величины
Какую часть составляет
Отношение в процентах
Как не запутаться
Проверь себя
Тренировочные задания
Запомни главное

Что такое отношение

В математике отношение - это результат деления одного числа на другое. Оно показывает, как две величины связаны друг с другом: во сколько раз одно число больше или меньше другого и какую часть одно число составляет от другого.

Мы встречаем отношения в жизни гораздо чаще, чем кажется на первый взгляд.

Где мы встречаем отношения

Спортивные счета. Счёт 3:1 показывает отношение забитых мячей двух команд.
Масштаб на карте. Запись 1:100 000означает, что 1 сантиметр на карте соответствует 100 000 сантиметрам в реальности.
Кулинарные рецепты. Если рис и молоко берут в отношении 1:2, то на каждый стакан риса нужно два стакана молока.
Вероятность. Фраза «один шанс к миллиону» тоже записывается как отношение.

$1:1\,000\,000$

Как записывается отношение

Отношение числа a к числу b можно записать как a:b или как дробь a/b.

Важное правило

Порядок чисел в отношении менять нельзя.

Отношение 10 к 2:

$10:2 = 5$

А отношение 2 к 10:

$2:10 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Это разные результаты, потому что сравнение идёт в разном направлении.

Как сравнивать величины

Если в задаче спрашивают «во сколько раз больше» или «во сколько раз меньше», нужно разделить одну величину на другую в правильном порядке.

Пример: конфеты Пети и Маши

У Пети 15 конфет, а у Маши 5.

Чтобы узнать, во сколько раз у Пети больше конфет, делим 15 на 5.

$15:5=3$

Ответ: у Пети конфет в 3 раза больше.

Если спросить, во сколько раз у Маши меньше конфет, ответ будет тем же: в 3 раза.

Какую часть составляет

В задачах на часть мы делим часть на целое. Ответ чаще всего остаётся в виде дроби, которую нужно сократить.

Пример: красные карандаши

В коробке 12 карандашей, из них 3 красные.

Найдём, какую часть всех карандашей составляют красные:

$3:12=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$

Ответ: красные карандаши составляют 1/4 всех карандашей.

Отношение в процентах

Иногда отношение удобно выражать в процентах. Для этого сначала находим дробь или десятичную запись отношения, а потом умножаем результат на 100%.

Как перевести отношение в проценты

Найди отношение чисел.
Запиши результат в виде дроби или десятичного числа.
Умножь результат на 100%.

Пример: девочки в классе

В классе 25 учеников, из них 15 девочек.

$15:25 = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0{,}6$

$0{,}6 \cdot 100\% = 60\%$

Ответ: девочки составляют 60% класса.

Как не запутаться

Перед решением задачи полезно внимательно прочитать сам вопрос.

Шпаргалка

Если спрашивают «во сколько раз?», выполняем деление.
Если спрашивают «какую часть?», делим часть на целое.
Если спрашивают «на сколько больше?», это уже не отношение, а вычитание.

Типичные ошибки

Путают порядок чисел при делении. Например, вместо 8:24 по привычке считают 24:8.
Забывают сокращать дробь. Ответ 4/16 нужно довести до 1/4.
Путают вопросы «на сколько» и «во сколько раз».
«На сколько больше?» - это вычитание:
$10-2=8$
«Во сколько раз больше?» - это отношение, то есть деление:
$10:2=5$

Проверь себя

Что называют отношением двух чисел?
Каким действием находят отношение?
Почему отношения 4:1 и 1:4 не равны?
Что нужно сделать, если спрашивают: «Во сколько раз 30 больше 5»?
Чем отличается вопрос «на сколько больше?» от вопроса «во сколько раз больше?»
Какой ответ обычно получается в задаче на вопрос «какую часть составляет?»
Как перевести дробь 1/2 в проценты?
Как найти отношение числа 6 к числу 24? Почему нельзя делить наоборот?

Тренировочные задания

Эти задания помогают повторить основные навыки темы: вычисление отношения, кратное сравнение, нахождение части и выражение отношения в процентах.

Уровень 1. Разминка

Найдите отношение числа 24 к числу 6.
Найдите отношение числа 5 к числу 15.
Во сколько раз число 48 больше числа 8?
Запишите отношение числа 7 к числу 21 в виде a:b и в виде дроби. Сократите результат.
Найдите отношение числа 18 к числу 3.
Найдите отношение числа 6 к числу 18 и запишите ответ в виде сокращённой дроби.
Во сколько раз число 35 больше числа 7?
Какую часть число 4 составляет от числа 20?
Какую часть число 9 составляет от числа 12?
Выразите в процентах отношение 1/2.
Выразите в процентах отношение 3/4.
Выразите в процентах отношение 1/5.

Уровень 2. Базовые задачи

В вазе лежат 12 яблок и 4 груши. Во сколько раз яблок больше, чем груш?
На тарелке лежат 20 пирожков. Из них 5 пирожков с вишней. Какую часть всех пирожков составляют пирожки с вишней?
В аквариуме плавают 18 рыбок. Из них 9 золотые. Какую часть всех рыбок составляют золотые рыбки? Выразите это отношение в процентах.
Сравните числа 12 и 3:
1. На сколько 12 больше 3?
2. Во сколько раз 12 больше 3?
3. Какую часть число 3 составляет от числа 12?
В коробке 16 карандашей, из них 4 зелёные. Какую часть всех карандашей составляют зелёные карандаши? Выразите ответ в процентах.
В автобусе ехали 30 пассажиров. На остановке вышли 6 человек. Какую часть всех пассажиров составили вышедшие люди?
В классе 28 учеников, из них 14 занимаются в спортивной секции. Какую часть класса составляют эти ученики? Выразите ответ в процентах.
В корзине 15 ягод: 5 ягод клубники и 10 ягод малины. Какую часть всех ягод составляет малина?
На складе было 40 коробок. Из них 10 коробок уже отправили. Какую часть всех коробок отправили? Сколько это процентов?
У Маши 6 тетрадей, а у Оли 18 тетрадей:
1. Во сколько раз у Оли больше тетрадей, чем у Маши?
2. Какую часть тетрадей Оли составляют тетради Маши?

Уровень 3. Задачи на внимательность

В классе 30 учеников. Из них 6 человек получили за контрольную пятёрку:
1. Какую часть класса составляют ученики, получившие пятёрку?
2. Сколько процентов учеников написали контрольную на пятёрку?
Мама испекла 25 блинчиков. За завтраком семья съела 10 блинчиков:
1. Какую часть всех блинчиков съели за завтраком?
2. Какая часть блинчиков осталась?
Длина отрезка A равна 4 см, а длина отрезка B равна 20 см:
1. На сколько сантиметров отрезок B длиннее отрезка A?
2. Во сколько раз отрезок B длиннее отрезка A?
В корзине 24 гриба, из них 6 белые, а остальные подберёзовики:
1. Какую часть всех грибов составляют белые грибы?
2. Сколько процентов всех грибов составляют белые грибы?
3. Во сколько раз подберёзовиков больше, чем белых грибов?
Сравните числа 15 и 5:
1. На сколько одно число больше другого?
2. Во сколько раз одно число больше другого?
3. Какую часть меньшее число составляет от большего?
В школьной библиотеке 50 книг на одной полке и 10 книг на другой:
1. На сколько книг на первой полке больше, чем на второй?
2. Во сколько раз на первой полке книг больше, чем на второй?
3. Какую часть от количества книг на первой полке составляет количество книг на второй?

Уровень 4. Задачи посложнее

В коробке лежат красные и синие шарики, причём отношение количества красных шариков к количеству синих равно 3:5. Всего в коробке 24 шарика:
1. Сколько всего частей приходится на все шарики?
2. Сколько в коробке красных шариков?
3. Сколько синих шариков?
В школьном кружке отношение числа мальчиков к числу девочек равно 2:3. Всего в кружке 25 человек. Сколько мальчиков и сколько девочек в кружке?
Для приготовления краски смешали белую и синюю краски, взяв их объёмы в отношении 4:1. Всего получилось 15 стаканов смеси. Сколько стаканов белой краски и сколько стаканов синей краски взяли?
В саду посажены яблони и груши. Отношение числа яблонь к числу груш равно 7:3. Всего деревьев 40. Сколько в саду яблонь и сколько груш?
В магазине за день продали ручки и карандаши, причём отношение количества проданных ручек к количеству карандашей равно 5:4. Всего продали 36 предметов. Сколько продали ручек и сколько карандашей?
Турист прошёл часть пути пешком, а часть проехал на велосипеде. Отношение расстояния, пройденного пешком, к расстоянию на велосипеде равно 2:7. Весь путь составил 36 км. Сколько километров турист прошёл пешком и сколько проехал на велосипеде?
В классе отношение числа отсутствующих мальчиков к числу отсутствующих девочек равно 1:2. Всего отсутствуют 6 человек. Сколько мальчиков и сколько девочек отсутствует?
В двух ящиках лежат апельсины, причём масса апельсинов в первом ящике относится к массе апельсинов во втором как 4:7. Общая масса апельсинов составляет 33 кг. Сколько килограммов апельсинов в каждом ящике?
В библиотеке отношение числа книг по математике к числу книг по литературе равно 3:8. Всего таких книг 55. Сколько книг по математике и сколько по литературе?
В букете отношение количества роз к количеству тюльпанов равно 5:6. Всего цветов 22. Сколько в букете роз и сколько тюльпанов?