Mathsite

← Back to topic: Преобразование отношений и сложные пропорции

Вычислить значение буквенного выражения, зная отношение $a : b$

По заданному отношению $a$ к $b$ найти значения выражений вида $\frac{3a}{b}$ , $\frac{a+b}{b}$ , $\frac{a-b}{3a}$ .

Subtopic: Преобразование отношений и сложные пропорции

Available tasks: 30

What the student should be able to do

Вычислять значение выражения по известному отношению между величинами, не находя сами величины отдельно. Заменять отношение моделью $a=mk$ , $b=nk$ и подставлять её в выражение.

Key idea

Если известно отношение $a:b = m:n$ , удобно положить $a = mk$ , $b = nk$ .

После подстановки в выражении обычно появляется общий множитель $k$ , который сокращается.

Этот способ позволяет вычислять выражения, не зная конкретных значений $a$ и $b$ .

Перед подстановкой полезно упростить данное отношение, если оно задано дробью или десятичным числом.

Worked example

Question

Известно, что $\dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{4}$ . Найдите $\dfrac{5a - 2b}{3a + b}$ .

Solution steps

1
Из отношения $\dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{4}$ следует, что можно взять $a = 3k$ , $b = 4k$ .
2
Подставляем эти значения в выражение: $\dfrac{5a - 2b}{3a + b} = \dfrac{5 \cdot 3k - 2 \cdot 4k}{3 \cdot 3k + 4k}$ .
3
Вычисляем числитель: $5 \cdot 3k - 2 \cdot 4k = 15k - 8k = 7k$ .
4
Вычисляем знаменатель: $3 \cdot 3k + 4k = 9k + 4k = 13k$ .
5
Получаем: $\dfrac{7k}{13k} = \dfrac{7}{13}$ .

Conclusion

Ответ: $\dfrac{7}{13}$ .

Typical mistakes

Пытаются подставить случайные значения $a$ и $b$ , не сохраняющие данное отношение.
Забывают, что $a$ и $b$ должны быть выражены через один и тот же множитель $k$ .
Ошибаются при раскрытии скобок и вычислении числителя или знаменателя.
Не сокращают общий множитель после подстановки.

Related skillsShow skill route

Required before this skill

Найти неизвестный член пропорции

Task examples

По заданному отношению $a$ к $b$ найти значения выражений вида $\frac{3a}{b}$ , $\frac{a+b}{b}$ , $\frac{a-b}{3a}$ .

Известно, что $\dfrac{a}{b} = \dfrac{2}{3}$ . Найдите $\dfrac{a}{2b}$ .

Answer

1/3

Отношение чисел $a$ и $b$ равно $\dfrac{2}{3}$ . Найдите $\dfrac{a + b}{b}$ .

Answer

5/3

Отношение чисел $a$ и $b$ равно $\dfrac{2}{3}$ . Найдите $\dfrac{a - b}{b}$ .

Answer

-1/3

Известно, что $\dfrac{a}{b} = 1{,}5$ . Найдите $\dfrac{b}{2a}$ .

Answer

1/3

Известно, что $\dfrac{a}{b} = \dfrac{1}{2}$ . Найдите $\dfrac{4a}{b}$ .

Answer