Вариант 29, 2027 год: разбор заданий

Искомый угол $ABC$ состоит из углов $ABD$ и $DBC$. Первый известен: $\angle ABD=73^\circ$. Найдём второй. Углы $DBC$ и $DAC$ опираются на одну дугу $CD$, поэтому они равны:

Складываем два угла:

Ответ: $128^\circ$

Скалярное произведение выражается двумя способами: через длины векторов и угол между ними, а также через координаты:

Приравниваем выражения и получаем формулу для косинуса:

В числителе $(-6)\cdot12+(-8)\cdot9=-144$. Длины находим по теореме Пифагора:

Это тройки $3,4,5$, увеличенные соответственно в два и в три раза.

Ответ: $-\dfrac{24}{25}$

Выделенный многогранник — пирамида $E_1ABD$. Используем формулу $V=\frac13S_{ABD}h$. Высота совпадает с высотой призмы: $h=6$. Нужно определить, какую часть шестиугольника составляет треугольник $ABD$.

Пусть сторона шестиугольника равна $a$. Его радиус равен стороне, поэтому большая диагональ $AD=2a$. В треугольнике $BCD$ стороны $BC=CD=a$, а угол $BCD=120^\circ$; значит, $\angle CBD=30^\circ$. Так как $\angle ABC=120^\circ$, получаем $\angle ABD=90^\circ$. По теореме Пифагора

Правильный шестиугольник состоит из шести равносторонних треугольников. Площадь каждого равна $\frac12a^2\sin60^\circ=\frac{a^2\sqrt3}{4}$. Чтобы найти долю площади, делим площадь треугольника на площадь шестиугольника:

Следовательно, $S_{ABD}=18:3=6$, и

Ответ: $12$

Спортсменов из Мексики $50-17-22=11$. Каждый из 50 участников с одинаковой вероятностью может оказаться первым:

Ответ: $0{,}22$

Представим, что достаём четыре билета по одному без возвращения. Обозначим выигрышный билет буквой В, невыигрышный — буквой Н. Ровно один выигрышный возможен в четырёх порядках:

Для первого порядка вероятности последовательных извлечений равны

Знаменатель каждый раз уменьшается на единицу: билетов становится меньше. После выигрышного билета остаётся восемь невыигрышных, затем семь и шесть. Вероятность этого порядка:

Для остальных порядков знаменатели те же, а числители $2,8,7,6$ меняются местами. Поэтому вероятности всех четырёх порядков равны. Они несовместны, значит, вероятности складываем:

Округляем до сотых: третья цифра после запятой равна 3.

Ответ: $0{,}53$

Представим особый кубик: на его гранях написаны числа $4,6,8,10,12,14$, а вероятности выпадения граней указаны в нижней строке таблицы. В отличие от обычного кубика, эти вероятности могут быть разными.

Нужны числа от 8 до 13 включительно. В таблице есть только $8$, $10$ и $12$; значения $9$, $11$ и $13$ эта случайная величина не принимает. Выпадение одного из нужных значений — несовместные события, поэтому складываем вероятности из нижней строки:

Ответ: $0{,}6$

Вносим множитель 3 в показатель степени под логарифмом:

Логарифмы с одинаковым основанием равны, когда равны их аргументы:

Проверяем область определения: $4-5x=27>0$.

Ответ: $-4{,}6$

Узнаём формулу двойного угла $2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha$. В выражении не хватает множителя 2: добавляем его, разделив общий коэффициент на 2.

Удваивается весь угол: $2\cdot\frac{7\pi}{12}=\frac{7\pi}{6}$. Чтобы найти синус, выделяем $\pi$:

Это угол третьей четверти, где синус отрицателен: $\sin\frac{7\pi}{6}=-\frac12$.

Ответ: $-1{,}25$

Сначала определяем, какой график дан: здесь изображена сама функция $y=f(x)$, а не её производная. Значит, ищем точки с горизонтальной касательной, а не пересечения графика с осью $Ox$. В этих точках $f'(x)=0$.

На данном рисунке таких точек шесть: три максимума и три минимума. Все они лежат внутри интервала $(-4;7)$; его концы не входят в область определения.

Ответ: $6$

При положительном $l$ сила $F_A=\rho gl^3$ возрастает вместе с ребром куба. Поэтому наибольшее ребро находим при предельной силе:

Чтобы затем извлечь кубический корень без десятичного деления, разложим правую часть на множители:

Слева $1000\cdot9{,}8=100\cdot98=25\cdot4\cdot2\cdot7^2$. Подставляем и сокращаем общий множитель $25\cdot7^2$:

Следовательно, $2l=9$, то есть $l=\frac92=4{,}5$.

Ответ: $4{,}5\ \text{м}$

Весь объём работы примем за единицу. Пусть первый рабочий выполняет его за $x$ дней, второй — за $y$ дней. Скорость работы — часть всей работы, выполняемая за день.

За два дня первый выполняет $2/x$ работы, за три дня второй — $3/y$. Эти части равны:

Тогда скорость второго рабочего равна $\frac{2}{3x}$. Складываем скорости и получаем совместную скорость:

Умножаем на $9x$ (при $x>0$): $9+6=x$, откуда $x=15$.

Ответ: $15\ \text{дней}$

Начинаем с вида графика $y=\sqrt x$. В данном случае ветвь направлена вниз, поэтому $k<0$. Начальная точка сдвинута вверх на 3: при $x=0$ корень равен нулю, так что сразу читаем $b=3$.

Теперь используем отмеченную точку $(1;-1)$:

Получаем $f(x)=3-4\sqrt x$. Подставляем $x=9$:

Ответ: $-9$

Считаем в тысячах рублей. Сначала проследим, как уменьшается сам долг после выплат, отдельно от процентов. В июле каждого из первых двух лет он уменьшается на четверть предыдущего остатка:

Это остатки на июль 2028, 2029, 2030 и 2031 годов. Проценты начисляются перед очередной выплатой на суммы $800$, $600$ и $450$. Так как $15\,\%=\frac3{20}$, все начисленные проценты составляют

За три года Марина возвращает весь первоначальный долг и все проценты:

Ответ: $1\,077\,500\ \text{руб.}$

1. Произведение и область определения.

Если произведение равно нулю, хотя бы один из множителей равен нулю. Но корень должен быть определён в любом случае, в том числе когда обращается в ноль второй множитель. Поэтому записываем систему:

Из первого уравнения $x=\pm\frac12$. Эти корни допустимы.

2. Показательное уравнение.

И 4, и 8 представляются степенями двойки:

Полагаем $t=2^{3x}>0$ и делим уравнение на 2:

По теореме Виета сумма корней равна $13/2$, произведение равно 3. Получаем $t=6$ и $t=\frac12$. Возвращаемся к исходной переменной:

3. Проверка ОДЗ и отбор корней.

ОДЗ: $x\leqslant-\frac12$ или $x\geqslant\frac12$. При $x=-\frac13$ подкоренное выражение равно $\frac49-1<0$; этот корень исключаем. Для второго корня сравним логарифмы с одинаковым основанием:

так как $\sqrt8<6<8$ и основание 8 больше 1. Значит, $\log_8 6$ удовлетворяет ОДЗ и лежит на отрезке $[-1;1]$. Корни $-\frac12$ и $\frac12$ тоже лежат на этом отрезке.

Ответ к пунктам а) и б): $-\frac12;\quad\frac12;\quad\log_8 6$

1. Приведём выражение к основанию 5 и учтём ОДЗ.

Заметим, что $125=5^3$, $0{,}2=5^{-1}$, а $9x^2-12x+4=(3x-2)^2$. Первый логарифм требует $2-3x>0$, то есть $x<\frac23$. На этом промежутке второй аргумент тоже положителен.

При вынесении квадрата появляется модуль. По ОДЗ $2-3x>0$, поэтому $|3x-2|=2-3x$. Подставляем и выносим общий логарифм:

2. Рационализация.

Чтобы определить знак логарифма, представим ноль как $\log_5 1$:

При основании $5>1$ разность логарифмов имеет тот же знак, что и разность аргументов $(2-3x)-1=1-3x$. Поэтому на ОДЗ исходное неравенство равносильно

3. Завершим решение методом интервалов.

На ОДЗ $x<\frac23$ множитель $x-\sqrt6$ отрицателен. Значит, остаётся решить $(x+\sqrt6)(1-3x)>0$. Произведение положительно при $-\sqrt6<x<\frac13$; весь этот промежуток входит в ОДЗ.

Ответ: $x\in\left(-\sqrt6;\frac13\right)$

1. Уберём корни и сохраним ограничение.

Обе части первого уравнения — квадратные корни, поэтому после учёта области определения их можно возвести в квадрат.

Достаточно одного ограничения: подкоренные выражения равны. Из разности квадратов $(x-y)(x+y)=0$ получаем $y=x$ или $y=-x$. В обоих случаях $y^2=x^2$ и $|y|=|x|$. Подставим это во второе уравнение:

2. Раскроем модуль и запишем пары.

При $x\geqslant0$ получаем $x^2-2x-2=0$. Дискриминант $D=12$, корни $1\pm\sqrt3$. Корень $1-\sqrt3<0$ не подходит к выбранному случаю. Остаётся $x=1+\sqrt3$, который даёт две пары:

При $x<0$ модуль равен $-x$, и линейные слагаемые сокращаются: $x^2-2=0$. Из корней $\pm\sqrt2$ подходит только $x=-\sqrt2$. Получаем ещё две пары:

Решение системы — пара $(x;y)$, поэтому каждому найденному $x$ здесь соответствуют два разных решения.

3. Вернёмся к параметру.

Все пары должны удовлетворять $a\geqslant-x^2$. Пары 1 и 2 существуют при $a\geqslant-(1+\sqrt3)^2=-4-2\sqrt3$. Пары 3 и 4 существуют при $a\geqslant-(-\sqrt2)^2=-2$. Минус перед квадратом сохраняется. Следовательно, при $a<-4-2\sqrt3$ решений нет; при $-4-2\sqrt3\leqslant a<-2$ есть только пары 1 и 2; при $a\geqslant-2$ существуют все четыре пары.

Левую границу включаем, поскольку нулевое подкоренное выражение допустимо. Правую исключаем: при $a=-2$ уже четыре решения.

Ответ: $a\in[-4-2\sqrt3;\,-2)$