Тема и навыки

Отношения и пропорции

Отношения, свойства пропорции, пропорциональность, масштаб и деление в отношении

5 класс6 классАрифметика5 подтем20 навыков1 лист

Собрать лист Посмотреть все навыки Учебник

Что входит в тему

Тема «Отношения и пропорции» изучается в 5 и 6 классах. Мы собрали материалы по ее ключевым направлениям: понятие отношения и свойства пропорции, прямая и обратная пропорциональность, масштаб, а также задачи на деление числа в заданном отношении.

В этом разделе 4 подтемы, 20 навыков и 1 готовый лист. Используйте их для объяснения нового материала, закрепления теории и создания проверочных работ.

Для каких задач подходит

Объяснения новой темы на уроке
Тренировки по конкретной подтеме
Самостоятельной работы по выбранным навыкам
Домашней работы без ручной сборки

Подтемы и навыки

Выберите подтему, чтобы перейти к отдельным навыкам, или сразу соберите лист заданий.

Понятие отношения

Нахождение отношения двух чисел, выражение отношения дробью или числом, кратное сравнение и интерпретация в процентах.

Понятие и свойства пропорции

Проверка, составление и преобразование пропорций, поиск неизвестного члена и решение уравнений-пропорций.

Прямая и обратная пропорциональность. Масштаб

Распознавание и применение прямой и обратной пропорциональности, задачи на масштаб карты.

Деление числа в данном отношении

Деление числа на части в заданном отношении, текстовые задачи на распределение и восстановление чисел по цепочке отношений.

Понятие отношения

4 навыкаЧитать главу Собрать лист

Навыки подтемы

Вычислить отношение двух чисел
Найти отношение двух чисел (натуральных, дробных, десятичных) в виде числа или дроби; упростить результат.
Кратное сравнение величин
Определить, во сколько раз одна величина больше или меньше другой.
Найти, какую часть одна величина составляет от другой
Нахождение доли от целого или части одного числа от другого; приведение величин к одинаковым единицам измерения.
Выразить отношение в процентах
Перевести отношение двух величин в проценты; найти, сколько процентов одна часть составляет от целого.

Понятие и свойства пропорции

Проверка, составление и преобразование пропорций, поиск неизвестного члена и решение уравнений-пропорций.

6 навыковЧитать главу Собрать лист

Навыки подтемы

Проверить пропорцию по определению
Проверить, является ли равенство $a:b = c:d$ верной пропорцией, вычислив оба отношения.
Проверить пропорцию по основному свойству
Проверить верность пропорции через равенство произведений крайних и средних членов $(ad = bc)$ .
Найти неизвестный член пропорции
Найти неизвестное x в пропорции вида $a:b = c:x$ или $a/b = c/x$ , в том числе с дробными и десятичными коэффициентами.
Решить уравнение-пропорцию с линейным выражением
Найти $x$ в пропорции, где числитель или знаменатель содержит линейное выражение вида $(ax+b)$ .
Найти число, прибавленное к числителю и знаменателю дроби
Найти число $x$ , которое прибавили к числителю и знаменателю (или вычли из них), чтобы получить новую дробь.
Составить пропорцию из данных чисел
Из набора чисел составить одну или несколько верных пропорций; найти все значения $x$ для верной пропорции.

Прямая и обратная пропорциональность. Масштаб

Распознавание и применение прямой и обратной пропорциональности, задачи на масштаб карты.

3 навыкаЧитать главу Собрать лист

Навыки подтемы

Решить задачу на прямую пропорциональность
Составить и решить пропорцию в задачах, где величины прямо пропорциональны.
Решить задачу на обратную пропорциональность
Составить и решить пропорцию в задачах, где величины обратно пропорциональны.
Решить задачу на масштаб карты
По масштабу карты найти расстояние на местности или на карте, а также определить сам масштаб.

Деление числа в данном отношении

4 навыкаЧитать главу Собрать лист

Навыки подтемы

Разделить число в отношении (на две части)
Разделить целое число или дробь на две части в заданном отношении $m:n$ .
Разделить число в отношении (три и более частей)
Разделить число на три и более частей в заданном отношении $m:n:k$ .
Решить текстовую задачу на деление в данном отношении
Применить деление в отношении в контексте текстовой задачи.
Восстановить числа по цепочке отношений и дополнительному условию
Найти неизвестные числа по цепочке отношений $(a:b, b:c, c:d)$ и дополнительному условию (сумма, разность, среднее).

Преобразование отношений и сложные пропорции

Как находить значения выражений, если известно только отношение чисел, и как из одной верной пропорции составлять новые.

3 навыкаЧитать главу Собрать лист

Навыки подтемы

Вычислить значение буквенного выражения, зная отношение $a : b$
По заданному отношению $a$ к $b$ найти значения выражений вида $\frac{3a}{b}$ , $\frac{a+b}{b}$ , $\frac{a-b}{3a}$ .
Восстановить исходное отношение по измененной дроби
Найти отношение $a$ к $b$ , если известно, что $\frac{b}{a} = \frac{2}{7}$ или $\frac{a+b}{b} = \frac{10}{3}$ .
Доказать новые свойства пропорций
Показать, почему из пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ всегда следуют равенства $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$ и $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$ .

Готовые листы по теме

Здесь лежат прикреплённые материалы по теме. Для каждого листа можно открыть доступные PDF-версии.

Понятие отношения

Понятие отношения и свойства

Цветной PDF Ч/б PDF

Частые вопросы по теме

Для каких классов подходит тема «Отношения и пропорции»?

Сейчас материалы на странице ориентированы на 5 класс и 6 класс. Это видно и по структуре подтем, и по доступным готовым листам.

Что уже доступно внутри темы?

Внутри темы собраны подтемы, отдельные навыки, переходы к генератору и готовые PDF-листы по части разделов.

Можно ли собирать материал только по одной подтеме?

Да. У каждой подтемы есть отдельный переход в генератор, поэтому можно быстро собрать лист по конкретному разделу без ручной выборки заданий.

Как использовать эту страницу для подготовки урока?

Обычно учитель начинает с подтемы, смотрит доступные навыки, затем либо открывает готовый лист, либо собирает свой вариант под цель урока, самостоятельную или домашнюю работу.